Christoffer De Geer 21 Μαρτίου 2026

Τι είναι το άπειρο;

|N| = |Z| = |Q| < |R|

το αριθμήσιμο άπειρο είναι αυστηρά μικρότερο από το μη αριθμήσιμο άπειρο

Το άπειρο δεν είναι ένα πράγμα. Ο Georg Cantor έδειξε το 1874 ότι ορισμένα άπειρα είναι πραγματικά μεγαλύτερα από άλλα. Οι ακέραιοι, τα κλάσματα και οι άρτιοι αριθμοί είναι όλοι εξίσου άπειροι. Όμως οι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα αυστηρά μεγαλύτερο άπειρο, και καμία λίστα δεν μπορεί ποτέ να τους περιέχει όλους.

Cantor's diagonal argument: why the reals cannot be listed

Sizes of infinity: a strict hierarchy

The natural numbers, integers, and rationals are all countably infinite: they can all be put in a one-to-one correspondence with each other. The real numbers are uncountably infinite: a strictly larger infinity. Between these two sizes, the Continuum Hypothesis asks whether there is anything in between.

Hilbert's Hotel: a hotel with infinitely many rooms, all full, always has room

Άρρητοι αριθμοί → Αριθμητικά συστήματα → Πρώτοι αριθμοί → Αρμονική σειρά → Συνάρτηση ζήτα του Riemann →

Σχετικά θέματα

Άρρητοι αριθμοί Πρώτοι Ζήτα Riemann

Βασικά στοιχεία για το άπειρο

Ο Cantor απέδειξε το 1874 ότι δεν είναι όλα τα άπειρα ίσα. Οι φυσικοί αριθμοί, οι ακέραιοι και οι ρητοί είναι αριθμήσιμα άπειροι: μπορούν να καταγραφούν σε λίστα. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι μη αριθμήσιμα άπειροι: δεν υπάρχει πλήρης λίστα, όπως αποδεικνύεται με το διαγώνιο επιχείρημα. Το θεώρημα του Cantor δείχνει ότι το δυναμοσύνολο οποιουδήποτε συνόλου έχει αυστηρά μεγαλύτερη πληθικότητα από το σύνολο, παράγοντας μια άπειρη ιεραρχία απείρων. Η Υπόθεση του Συνεχούς, ότι κανένα άπειρο δεν βρίσκεται μεταξύ των ακεραίων και των πραγματικών, αποδείχθηκε ανεξάρτητη από την τυπική θεωρία συνόλων.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Τι είναι το ωμέγα στη θεωρία συνόλων;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.