La serie armonica
La serie armonica è la somma di tutte le frazioni unitarie. Ogni termine 1/n tende a zero, il che potrebbe suggerire che la somma converga, ma non è così. La prova usa il raggruppamento: 1/3+1/4 > 1/2, poi 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, e ogni tale gruppo aggiunge almeno 1/2, quindi il totale supera qualsiasi limite. Eppure diverge con una lentezza straordinaria: per raggiungere una somma parziale di 100 servono più termini che atomi nell'universo osservabile.
H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.
~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.
La serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverge, dimostrata da Nicole Oresme intorno al 1350. Nonostante ogni termine tenda a zero, la somma supera qualsiasi limite. Le somme parziali crescono come ln(n) + gamma dove gamma ≈ 0.5772 è la costante di Euler-Mascheroni. Dopo un milione di termini la somma è solo circa 14. Per raggiungere 100 servono più di 10^43 termini. La serie alternata 1 - 1/2 + 1/3 - ... converge a ln 2.
Pi
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