Christoffer De Geer 21. března 2026

Harmonická řada

H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = infinity

diverguje, ale pomaleji než jakákoli jiná divergentní řada

Harmonická řada je součet všech jednotkových zlomků. Každý člen 1/n směřuje k nule, co by mohlo napovídat, že součet konverguje, ale tak není. Důkaz používá seskupování: 1/3+1/4 > 1/2, pak 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, a každá taková skupina přidá alespoň 1/2, takže celkový součet překročí jakoukoli hranici. Přesto diverguje s výjimečnou pomalostí: k dosažení částečného součtu 100 vyžaduje více členů než atomů v pozorovatelném vesmíru.

Oresme's proof: grouping shows divergence

1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+…+1/8) + …

Each group ≥ 1/2: 1/3+1/4 > 2×1/4 = 1/2 and 1/5+…+1/8 > 4×1/8 = 1/2

We can always add another group ≥ 1/2, so the total grows without bound. QED (Oresme ~1360)

H(n) grows like ln(n) plus γ

H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.

How absurdly slow: milestones for H(n) exceeding round numbers

~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.

Eulerova-Mascheroniho konstanta → Riemannova zéta funkce → Meisselovo-Mertensova konstanta → Baselský problém → Přirozený logaritmus 2 →

Související témata

Gamma Meissel Mertens Riemannova zéta

Klíčová fakta o harmonické řadě

Harmonická řada 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverguje, což dokázal Nicole Oresme kolem roku 1350. Přestože každý člen směřuje k nule, součet překročí jakoukoli hranici. Částečné součty rostou jako ln(n) + gamma kde gamma ≈ 0.5772 je Eulerova-Mascheroniho konstanta. Po milionu členů je součet pouze asi 14. K dosažení 100 vyžaduje více než 10^43 členů. Alternující řada 1 - 1/2 + 1/3 - ... konverguje k ln 2.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Jaké je spojení mezi harmonickou řadou a gammou?

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.