Що таке трансцендентні числа?
Число трансцендентне, якщо воно не є коренем жодного поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами. пі не задовольняє жодного рівняння, як-от x^2 - 3x + 1 = 0. e не задовольняє жодного такого рівняння. Вони існують поза досяжністю алгебри. Попри те, що їх рідко вдається назвати, трансцендентні числа є радше правилом, ніж винятком: майже кожне дійсне число трансцендентне.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Число трансцендентне, якщо воно не задовольняє жодного поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами. Ліувілль дав перший явний приклад 1844 року. Ерміт довів, що e трансцендентне, 1873 року. Ліндеман довів, що пі трансцендентне, 1882 року, остаточно вирішивши, що давня задача про квадратуру кола неможлива. Теорема Гельфонда-Шнайдера (1934) показує, що a^b трансцендентне щоразу, коли a алгебраїчне і не 0 і не 1, а b алгебраїчне та ірраціональне. Попри те, що це радше правило, ніж виняток, довести трансцендентність будь-якого конкретного числа залишається надзвичайно складно.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
