अभाज्य संख्याएँ क्या हैं?
अभाज्य संख्या 1 से बड़ी ऐसी पूर्ण संख्या है जिसके केवल दो भाजक हों: 1 और स्वयं। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या या तो अभाज्य होती है या अभाज्यों के अद्वितीय गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। यही अंकगणित का मौलिक प्रमेय है: हर संख्या का ठीक एक अभाज्य गुणनखंडीकरण होता है।
यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। मान लें कि सबसे बड़ी अभाज्य p हो। सभी ज्ञात अभाज्यों को गुणा करके उसमें 1 जोड़ें। परिणाम या तो स्वयं अभाज्य होगा (विरोधाभास) या उसमें ऐसा अभाज्य गुणनखंड होगा जो आपकी सूची में नहीं है (फिर भी विरोधाभास)। इसलिए अभाज्य संख्याएँ कभी समाप्त नहीं होतीं।
| Primzahl | # | Primzahl | # | Primzahl | # |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 19 | 8 | 37 | 12 |
| 3 | 2 | 23 | 9 | 41 | 13 |
| 5 | 3 | 29 | 10 | 43 | 14 |
| 7 | 4 | 31 | 11 | 47 | 15 |
| 11 | 5 | 37 | 12 | 53 | 16 |
| 13 | 6 | 41 | 13 | 59 | 17 |
| 17 | 7 | 43 | 14 | 61 | 18 |
PlayMemorize, 2 से 7919 तक की अभाज्य संख्याओं (पहली 1000 अभाज्य) का उपयोग करता है। अभाज्य संख्या प्रमेय बताता है कि nवीं अभाज्य लगभग n·ln(n) होती है। 1000वीं अभाज्य 7919 है, जो अनुमान 1000·ln(1000) ≈ 6908 के काफ़ी निकट है। अभाज्यों के अंतरालों का वितरण रीमान परिकल्पना से गहराई से जुड़ा है।
2 से बड़ी हर सम पूर्ण संख्या दो अभाज्यों के योग के रूप में लिखी जा सकती है। उदाहरण: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 100 = 3 + 97। 1742 में क्रिश्चियन गोल्डबाख ने ऑयलर को लिखे पत्र में यह प्रस्ताव रखा था। 4 × 10^18 तक की हर सम संख्या के लिए इसकी जाँच हो चुकी है, फिर भी इसका प्रमाण आज तक नहीं मिला। यह गणित के सबसे पुराने अनसुलझे प्रश्नों में से एक है।
अभाज्य संख्या 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्या है जिसके केवल दो भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहता है कि 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडीकरण होता है। अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुसार nवीं अभाज्य लगभग n*ln(n) होती है। PlayMemorize पहली 1000 अभाज्यों (2 से 7919 तक) का अभ्यास कराता है। क्या हर सम संख्या दो अभाज्यों का योग है (गोल्डबाख की परिकल्पना), यह 280 वर्षों बाद भी अनसुलझा है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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