Cosa sono i numeri trascendenti?
Un numero è trascendente se non è radice di alcuna equazione polinomiale con coefficienti interi. pi non soddisfa alcuna equazione come x^2 - 3x + 1 = 0. e non soddisfa alcuna equazione del genere. Esistono oltre la portata dell'algebra. Nonostante sia raro poterne nominare uno, i numeri trascendenti sono la regola piuttosto che l'eccezione: quasi ogni numero reale è trascendente.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Un numero è trascendente se non soddisfa alcuna equazione polinomiale con coefficienti interi. Liouville fornì il primo esempio esplicito nel 1844. Hermite dimostrò che e è trascendente nel 1873. Lindemann dimostrò che pi è trascendente nel 1882, risolvendo definitivamente l'antico problema della quadratura del cerchio come impossibile. Il teorema di Gelfond-Schneider (1934) mostra che a^b è trascendente ogniqualvolta a è algebrico e diverso da 0 o 1, e b è algebrico e irrazionale. Nonostante siano la regola piuttosto che l'eccezione, dimostrare che un numero specifico è trascendente rimane estremamente difficile.
Pi
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