Τι είναι οι υπερβατικοί αριθμοί;
Ένας αριθμός είναι υπερβατικός αν δεν είναι ρίζα καμίας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Το pi δεν ικανοποιεί καμία εξίσωση όπως η x^2 - 3x + 1 = 0. Το e δεν ικανοποιεί καμία τέτοια εξίσωση. Υπάρχουν πέρα από την εμβέλεια της άλγεβρας. Παρότι είναι σπάνιο να κατονομαστούν, οι υπερβατικοί αριθμοί είναι ο κανόνας παρά η εξαίρεση: σχεδόν κάθε πραγματικός αριθμός είναι υπερβατικός.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Ένας αριθμός είναι υπερβατικός αν δεν ικανοποιεί καμία πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Ο Liouville έδωσε το πρώτο ρητό παράδειγμα το 1844. Ο Hermite απέδειξε ότι το e είναι υπερβατικό το 1873. Ο Lindemann απέδειξε ότι το pi είναι υπερβατικό το 1882, λύνοντας επιτέλους το αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου ως αδύνατο. Το θεώρημα Gelfond-Schneider (1934) δείχνει ότι το a^b είναι υπερβατικό όποτε το a είναι αλγεβρικό και όχι 0 ή 1, και το b είναι αλγεβρικό και άρρητο. Παρότι είναι ο κανόνας παρά η εξαίρεση, η απόδειξη ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι υπερβατικός παραμένει εξαιρετικά δύσκολη.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
