पारातीत संख्याएँ क्या हैं?
कोई संख्या पारातीत कहलाती है यदि वह पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद समीकरण की जड़ न हो। π, x^2 - 3x + 1 = 0 जैसे किसी समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। e भी ऐसा कोई समीकरण संतुष्ट नहीं करता। वे बीजगणित की पहुँच से बाहर हैं। किसी विशेष पारातीत संख्या को नाम से पहचानना कठिन है, फिर भी लगभग हर वास्तविक संख्या पारातीत होती है।
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
| ZAHL | MINIMALPOLYNOM |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | kein Polynom existiert |
| e = 2,71828... | kein Polynom existiert |
| e^π = 23,1406... | kein Polynom existiert |
कोई संख्या पारातीत तब होती है जब वह पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद समीकरण को संतुष्ट नहीं करती। 1844 में लियूविल ने पहला स्पष्ट उदाहरण दिया। 1873 में एर्मीट ने e को पारातीत सिद्ध किया। 1882 में लिंडेमान ने π को पारातीत सिद्ध किया, जिससे प्राचीन वृत्त-चतुर्भुजीकरण समस्या असंभव साबित हुई। Gelfond-Schneider प्रमेय (1934) कहता है कि a^b पारातीत होता है जब a बीजीय हो और 0 या 1 न हो, और b बीजीय पर अपरिमेय हो। यद्यपि पारातीत संख्याएँ अपवाद नहीं बल्कि सामान्य नियम हैं, किसी विशेष संख्या को पारातीत सिद्ध करना अभी भी अत्यंत कठिन है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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