Co je Eulerova identita?
Eulerova identita plyne z Eulerova vzorce: eix = cos(x) + i·sin(x). Dosazením x = π dostaneme eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, tedy eiπ + 1 = 0.
eiθ obíhá jednotkovou kružnici. Otočení o π končí v −1. Přičti 1 a získáš 0.
Spojuje aritmetiku (0 a 1), algebru (i), geometrii (π) a matematickou analýzu (e) · čtyři různá odvětví matematiky · v jediné rovnici překvapivé jednoduchosti. Richard Feynman ji nazval „nejpozoruhodnějším vzorcem matematiky“.
Leonhard Euler (1707–1783) publikoval vzorec eix = cos(x) + i·sin(x) ve své knize Introductio in analysin infinitorum (1748). Identita je jeho zvláštním případem pro x = π. Euler zavedl nebo zpopularizoval zápis e, i, f(x), Σ a π.
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
Vzorec e^(i*theta) popisuje jednotkovou kružnici v komplexní rovině s rostoucím theta. e^(i*pi) je rotace o přesně pi radiánů (180 stupňů) od 1, která dopadne na -1. Přičtení 1 vás vrátí k 0. Proto e^(i*pi) + 1 = 0: je to půlotočka komplexní roviny vyjádřená rovnicí.
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
Eulerova identita e^(i*pi) + 1 = 0 spojuje pět nejdůležitějších konstant v matematice: e (základ přirozených logaritmů), i (imaginární jednotka), pi (kruhová konstanta), 1 (multiplikativní identita) a 0 (aditivní identita). Plynou z ní přímo z Eulerova vzorce e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) dosazením theta = pi. Protože cos(pi) = -1 a sin(pi) = 0, dostaneme e^(i*pi) = -1. Poprvé publikována Eulerem kolem roku 1748. Zvolena za nejkrásnější rovnici matematiky v několika anketách.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
