Cos'è la funzione zeta di Riemann?
La funzione zeta di Riemann è ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler studiò la versione reale e trovò ζ(2) = π²/6 (il problema di Basilea) e la formula del prodotto ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) su tutti i numeri primi. Riemann estese la funzione ai numeri complessi nel suo fondamentale articolo del 1859.
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
L'intuizione chiave di Riemann: estendendo ζ(s) a s complesso, i zeri non banali (dove ζ(s) = 0 con 0 < Re(s) < 1) controllano la distribuzione dei numeri primi. Ogni zero contribuisce con un'oscillazione alla funzione di conteggio dei numeri primi. Riemann congetturò nel 1859 che tutti i zeri non banali giacciono sulla retta Re(s) = 1/2. Questa è l'ipotesi di Riemann.
Oltre 10 trilioni di zeri non banali sono stati verificati giacere su Re(s) = 1/2. Nessun controesempio è mai stato trovato. L'Istituto di Matematica Clay offre $1 milione per una prova (o confutazione). Una prova fornirebbe il limite più preciso possibile sugli errori della distribuzione dei numeri primi. L'ipotesi di Riemann è indimostrata da 165 anni.
La funzione zeta di Riemann soddisfa una simmetria: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Questo estende zeta a tutti i numeri complessi s (eccetto s = 1) e relaziona il valore in s al valore in 1-s. Mostra che i zeri non banali vengono a coppie: se s è uno zero, lo è anche 1-s. I zeri banali per s = -2, -4, -6, ... derivano dal fattore sin(pi*s/2).
La funzione zeta di Riemann è zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler la valutò per gli interi pari: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann la estese a s complesso nel 1859 e congetturò che tutti i zeri non banali giacciono su Re(s) = 1/2. Questa ipotesi di Riemann è indimostrata da 165 anni ed è un problema del Premio del Millennio Clay del valore di $1 milione. Oltre 10 trilioni zeri sono stati verificati sulla linea critica. I zeri controllano la distribuzione dei numeri primi: ogni zero contribuisce con un'oscillazione alla funzione di conteggio dei numeri primi.
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