Cos'è il Teorema Fondamentale del Calcolo?
Il Teorema Fondamentale del Calcolo collega due idee apparentemente separate. Parte 1: se integri una funzione da un punto fisso a x, la derivata di quell'integrale è la funzione originale. Parte 2: l'integrale definito di f da a a b è uguale a qualsiasi primitiva F valutata in b meno F in a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.
Prima di questo teorema, il calcolo delle aree richiedeva le somme di Riemann: dividere la regione in sottili rettangoli, sommarli tutti e prendere il limite. Il FTC sostituisce tutto ciò con una sola sottrazione. Newton comprese questo entro il 1666 e Leibniz indipendentemente entro il 1675. La loro disputa sulla priorità divise la matematica europea e britannica per una generazione.
Ogni integrale insegnato nei corsi di calcolo usa la Parte 2: trova una primitiva, valuta agli estremi, sottrai. Questo funziona perché derivazione e integrazione sono esattamente l'inversa l'una dell'altra. È uno dei risultati più profondi e utili di tutta la matematica.
A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.
Il lavoro compiuto da una forza variabile F(x) nello spostamento da a a b è W = integrale da a a b di F(x) dx = P(b) - P(a), dove P è la funzione energia potenziale che soddisfa P' = -F. La velocità si integra nello spostamento; la forza si integra nell'impulso. Il FTC è ciò che rende questi calcoli trattabili invece di richiedere infinite somme di Riemann.
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