Τι είναι το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού;
Το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού συνδέει δύο φαινομενικά ξεχωριστές ιδέες. Μέρος 1: αν ολοκληρώσετε μια συνάρτηση από ένα σταθερό σημείο μέχρι το x, η παράγωγος αυτού του ολοκληρώματος είναι η αρχική συνάρτηση. Μέρος 2: το ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το a έως το b ισούται με οποιαδήποτε αντιπαράγωγο F υπολογισμένη στο b μείον την F στο a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.
Πριν από αυτό το θεώρημα, ο υπολογισμός εμβαδών απαιτούσε αθροίσματα Riemann: διαίρεση της περιοχής σε λεπτά ορθογώνια, άθροιση όλων και λήψη του ορίου. Το ΘΘΛ αντικαθιστά όλα αυτά με μία αφαίρεση. Ο Newton το κατανόησε μέχρι το 1666 και ο Leibniz ανεξάρτητα μέχρι το 1675. Η διαμάχη τους για την προτεραιότητα διχάσε τα ευρωπαϊκά και βρετανικά μαθηματικά για μια γενιά.
Κάθε ολοκλήρωμα που διδάσκεται στα μαθήματα λογισμού χρησιμοποιεί το Μέρος 2: βρείτε μια αντιπαράγωγο, υπολογίστε στα άκρα, αφαιρέστε. Αυτό λειτουργεί επειδή η παραγώγιση και η ολοκλήρωση είναι ακριβείς αντίστροφες η μία της άλλης. Είναι ένα από τα βαθύτερα και πιο χρήσιμα αποτελέσματα σε όλα τα μαθηματικά.
A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.
Το έργο που παράγεται από μια μεταβλητή δύναμη F(x) σε μετατόπιση από a έως b είναι W = ολοκλήρωμα από a έως b της F(x) dx = P(b) - P(a), όπου P είναι η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας που ικανοποιεί την P' = -F. Η ταχύτητα ολοκληρώνεται σε μετατόπιση· η δύναμη ολοκληρώνεται σε ώθηση. Το ΘΘΛ είναι αυτό που κάνει αυτούς τους υπολογισμούς χειρίσιμους αντί να απαιτούν άπειρα αθροίσματα Riemann.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
