Christoffer De Geer 20. března 2026

Co je Wallisův produkt?

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)

π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ Wallis, 1655.

Wallisův produkt zapisuje π/2 jako nekonečný produkt jednoduchých zlomků: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Každé sudé číslo se vyskytuje dvakrát, jednou větší a jednou menší než jeho sousedi. Pokud vynásobíme dostatek členů, produkt konverguje k π/2 ≈ 1.5708.

Wallis partial products approaching π/2

Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.

John Wallis odvodil tento vzorec v roce 1655 z integrálu ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, porovnáním případů pro sudé a liché n. To, co je záměrné, je skutečnost, že odvodí π z čistého násobení racionálních čísel, bez zapojení geometrie. Stejný produkt vyplývá z identity gamma funkce: π = Γ(1/2)².

The Wallis product: alternating even fractions

π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…

= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)

Wallis derived this in 1655 by comparing integrals of powers of sin(x). It was the first product formula for π.

Wallisův produkt konverguje velmi pomalu: po n párech je chyba řádu 1/(4n). Má obrovský teoretický význam jako jeden z prvních nekonečných produktů kdy studovaných, který otevřel cestu k analýze sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) a celé teorii nekonečných produktů v komplexní analýze.

Pi (π) → Gaussův integrál → Baselský problém → Taylorovy řady → Základní věta diferenciálního a integrálního počtu →

Integrals of sin^n(x) from 0 to π/2: even/odd pattern produces Wallis

Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.

Související témata

Pi Základní věta calculus Taylorovy řady

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Uveďte jiný nekonečný součin nebo řadu, která dává π.

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.