Christoffer De Geer 21 marzo 2026

Numeri perfetti

sigma(n) = 2n

la somma di TUTTI i divisori (incluso n) è uguale al doppio del numero

Un numero perfetto è uguale alla somma di tutti i suoi divisori propri (ogni divisore eccetto se stesso). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Sono straordinariamente rari: ne sono noti solo 51, tutti pari, e crescono in modo astronomico. Se esista qualche numero perfetto dispari rimane uno dei problemi aperti più antichi della matematica.

The first four perfect numbers: divisor portraits

Euclid-Euler theorem: even perfect numbers ↔ Mersenne primes

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

Perfect numbers on a log scale: they grow faster than exponentially

Values shown as log10. Even on a log scale each jump is dramatically larger. The 51st perfect number has over 49 million digits.

Numeri primi → Sistemi numerici → Aritmetica modulare → Sequenza di Fibonacci →

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Fatti chiave sui numeri perfetti

Un numero perfetto è uguale alla somma dei suoi divisori propri: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclide mostrò che 2^(p-1)*(2^p-1) è perfetto ogniqualvolta 2^p-1 è primo. Euler dimostrò il viceversa: ogni numero perfetto pari ha questa forma. Se esista qualche numero perfetto dispari è uno dei problemi irrisolti più antichi; nessuno è mai stato trovato. Sono noti solo 51 numeri perfetti, tutti pari, corrispondenti ai 51 primi di Mersenne noti.

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