什么是圆周率 π？

π 不能写成两个整数之比（1761 年由 Johann Heinrich Lambert 证明）。它还是超越数，也就是说，它不是任何整系数多项式方程的解（1882 年由 Ferdinand von Lindemann 证明）。这意味着用尺规作图不可能完成化圆为方。它的小数展开永不终止，也永不循环。

叙拉古的阿基米德（约公元前 250 年）最早严格夹逼了 π：他利用 96 边形的内接与外切，证明 π 介于 3+10/71 与 3+1/7 之间。巴比伦人使用 3.125，埃及人使用 3.1605。符号 π 由威尔士数学家 William Jones 于 1706 年引入，后经欧拉推广而普及。截至 2024 年，π 已被计算到超过 100 万亿位小数。

π 远不只属于圆：它出现在正态分布（钟形曲线中含有 √(2π)）、欧拉恒等式 e^(iπ) + 1 = 0、两个随机整数互素的概率（6/π²）、斯特林公式 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ、量子力学，以及球体体积公式 4πr³/3 中。

π ≈ 3.14159265358979323846。它是无理数（Lambert，1761），也是超越数（Lindemann，1882）。“π 日”是 3 月 14 日。分数 22/7 对 π 的估计偏大约 0.04%，而 355/113 则精确到 6 位小数。π 是否是“正规数”（即所有数字序列都以相同频率出现）目前仍未知，但许多人相信它是。