ओमेगा नियतांक क्या है?
| Iteration | x | e^(−x) | |x − Ω| |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,5 | 0,60653 | 0,067 |
| 2 | 0,60653 | 0,54545 | 0,022 |
| 3 | 0,54545 | 0,57970 | 0,008 |
| 4 | 0,57970 | 0,56007 | 0,003 |
| 5 | 0,56007 | 0,57121 | 0,001 |
| … | … | … | → 0 |
| ∞ | Ω | Ω | 0 |
Ω को Newton विधि से f(x) = x*e^x - 1 पर लागू करके निकाला जा सकता है, या सरल पुनरावृत्ति Ω(n+1) = e^(-Omega_n) से, जो किसी भी धनात्मक प्रारंभिक मान से अभिसरित होती है। 1.0 से शुरू करने पर क्रम मिलता है: 0.3679, 0.6922, 0.5002, 0.6065, 0.5452, ... और यह Ω ≈ 0.56714 की ओर जाता है। लगभग 10 पुनरावृत्तियों में 6 सही दशमलव स्थान मिल जाते हैं।
Ω अनंत घात-टावर को संतुष्ट करता है: Omega = e^(-e^(-e^(-...))). ऋणात्मक घातांकों का यह अनंत स्तूप Ω पर अभिसरित होता है। यह सीधे पुनरावृत्ति सूत्र से निकलता है: x ↦ e^(-x) का स्थिर-बिंदु ठीक Ω ही है।
ओमेगा नियतांक Omega * e^Omega = 1 को संतुष्ट करता है, इसलिए Omega ≈ 0.56714. यह Lambert W फलन का 1 पर मान है, और e^(-Omega) = Omega को भी संतुष्ट करता है। सरल पुनरावृत्ति Omega_new = e^(-Omega_old) किसी भी धनात्मक आरंभिक मान से अभिसरित होती है। Omega पारातीत है। यह अनंत टावर Omega = e^(-e^(-e^(-...))) को भी संतुष्ट करता है। यह algorithms के analysis और delay differential equations के हलों में प्रकट होता है।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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