Cos'è il rapporto argento?
Il rapporto argento δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421 è la soluzione positiva di x² = 2x + 1. È il secondo membro della famiglia delle medie metalliche: il rapporto aureo soddisfa x² = x + 1 (tutti 1 nella frazione continua), e il rapporto argento soddisfa x² = 2x + 1 (tutti 2 nella frazione continua [2; 2, 2, 2, …]).
I numeri di Pell 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… sono definiti da Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂. I loro rapporti convergono a δₛ proprio come i rapporti di Fibonacci convergono a φ. Il rapporto argento governa l'ottagono regolare: il rapporto tra una diagonale e un lato è δₛ. Appare anche nelle tassellazioni quasiperiodiche di Ammann-Beenker.
The red diagonal connects vertices 3 apart (skipping 2). The green side is one edge. Their ratio is exactly 1 + √2 ≈ 2.414, the silver ratio. This is the octagon equivalent of the golden ratio diagonal in a pentagon.
Il rapporto argento ha autosimilarità: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯)). Rimuovendo due quadrati unitari da un rettangolo δₛ × 1 si ottiene un rettangolo più piccolo con le stesse proporzioni. La serie di formati A usa √2 (che è δₛ - 1) in modo che dimezzare un foglio preservi il rapporto d'aspetto. Valore: 2.41421356237309504880168872…
A0, A1, A2… each sheet is half the previous. The ratio 1:√2 is the only ratio that survives halving. Fold a 1:√2 sheet: you get a √2:1 sheet, the same proportions rotated. √2 = δₛ - 1, linking the paper series directly to the silver ratio.
Pi
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