h1card_01p_02
The five number systems: what problem each one solved
C Complex Numbers solved: x²+1=0 root: x=i R Real solved: x²=2 root: sqrt(2) Q Rational solved: 3x=1 root: 1/3 Z Integers solved: x+5=3 root: -2 N 1,2,3... Each ring contains new numbers the inner ring cannot express -7 3/7 sqrt(2) 3+2i
What each extension gains and what it loses

Table showing properties gained and lost when extending number systems

SISTEMDIPEROLEHHILANG ATAU BERUBAH
N, natürliche ZahlenZählen, +, ×keine Subtraktion
Z, ganze ZahlenSubtraktion, Negativekeine Division
Q, rationale ZahlenDivision, Brüchekein √2
R, reelle Zahlenalle Grenzwerte, √2, πkein √(-1)
C, komplexe Zahlenalle Polynomnullstellenalgebraisch abgeschlossen
H, QuaternionenDrehungen im 3D-Raumab ist nicht gleich ba
Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung
Number systems on the line: naturals, integers, rationals, reals
-3-101/21√223

Blue: natural numbers ℕ. Green adds 0. Purple extends to negative integers ℤ. Orange adds fractions ℚ. Red: irrationals fill the rest of ℝ.

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