Persamaan kecil yang menghubungkan lima konstanta matematika paling terkenal.
Lima konstanta dalam satu rumus
e
e≈ 2.71828…
basis logaritma natural
i
i= √(−1)
unit imajiner, i² = −1
π
π≈ 3.14159…
rasio keliling terhadap diameter
1
1
identitas perkalian
0
0
identitas penjumlahan
Berasal dari rumus Euler
Langkah demi langkah
Mulai dengan rumus Eulereⁱˣ = cos(x) + i·sin(x)
Masukkan θ = πeⁱπ = cos(π) + i·sin(π)
Gunakan cos(π) = −1eⁱπ = −1 + 0i
Gunakan sin(π) = 0eⁱπ = −1
Tambah 1 pada kedua sisieⁱπ + 1 = 0 ✓
Lingkaran satuan
Pada lingkaran satuan, sudut π radian berakhir di titik (−1, 0). Karena itu e^(iπ) = −1.
Mengapa ini penting
Identitas Euler menghubungkan eksponensial, bilangan kompleks, trigonometri, dan konstanta dasar dalam satu persamaan singkat. Banyak matematikawan menganggapnya sebagai salah satu rumus paling indah.
Sejarah
Hubungan ini tumbuh dari karya Leonhard Euler pada abad ke-18 tentang fungsi eksponensial kompleks dan trigonometri.
Taylor series for e to the i pi showing it equals minus 1
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
card_03
e^(iπ) is a half-turn: it sends every point to its opposite
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
The five constants in Euler's identity
e^(iπ) + 1 = 0
e ≈ 2.71828 (pertumbuhan alami) · i = √(−1) (satuan imajiner)