Gelfonds konstant är e upphöjt till π. Dess ungefärliga värde är 23,14069263277927… Att bevisa att den är transcendent var Hilberts 7:e problem, formulerat 1900 som en av de 23 viktigaste olösta frågorna för 1900-talet. Alexander Gelfond löste det 1934.
e^π sitter frestande nara 23 men missar med 0,14. Tillfalligheten e^π - π ≈ 19,999 ar annu narmre.
Gelfond–Schneider-satsen (1934) säger: om a är algebraiskt, inte 0 eller 1, och b är algebraiskt och irrationellt, är a^b transcendent. Gelfonds konstant e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Här är a = −1 (algebraiskt) och b = −i (algebraiskt och irrationellt). Satsen är direkt tillämplig.
Table showing examples of numbers proved transcendental by Gelfond-Schneider
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Det numeriska sammanfallet e^π − π ≈ 19,9990999 saknar känd matematisk förklaring. Det är troligen en slump, men liknande sammanfall (som Ramanujans konstant) visar sig ibland ha djupa orsaker. e^π har beräknats till miljoner decimaler: 23,14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Detta kan bevisas utan kalkylator: funktionen x^(1/x) har maximum vid x=e, sa e^(1/e) > π^(1/π), vilket ger e^π > π^e.
Gelfonds konstant e^π ≈ 23,14069. Att bevisa att den är transcendent var Hilberts 7:e problem (1900). Gelfond löste det 1934: om a är algebraiskt (inte 0 eller 1) och b är algebraiskt och irrationellt är a^b transcendent. Eftersom e^π = (-1)^(-i), och -1 och -i är algebraiska med -i irrationellt, är satsen direkt tillämplig. Sammanfallet e^π - π ≈ 19,999 saknar känd matematisk förklaring.