Ett tal är transcendent om det inte är roten till någon polynomekvation med heltalskoefficienter. Pi uppfyller ingen ekvation som x² - 3x + 1 = 0. e uppfyller ingen sådan ekvation. De existerar bortom algebrans räckvidd. Trots att de är sällsynta att namnge är transcendenta tal snarare regel än undantag: nästan varje reellt tal är transcendent.
Varje rationellt tal är algebraiskt. Varje algebraiskt tal är reellt. Men de transcendenta talen, talen utanför den algebraiska ringen, är avsevärt fler än alla algebraiska tal tillsammans.
Fran Liouvilles artificiella konstruktion (1844) till Gelfond-Schneiders sats (1934) vaxte transcendensteorin till en huvudgren av talteorin.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Ett tal är transcendent om det inte uppfyller någon polynomekvation med heltalskoefficienter. Liouville gav det första explicita exemplet 1844. Hermite bevisade att e är transcendent 1873. Lindemann bevisade att pi är transcendent 1882 och avgjorde därmed det antika kvadraturproblemet som omöjligt. Gelfond–Schneiders sats (1934) visar att a^b är transcendent när a är algebraiskt och inte 0 eller 1, och b är algebraiskt och irrationellt. Trots att de är snarare regel än undantag är det fortfarande extremt svårt att bevisa att ett specifikt tal är transcendent.