Taylorserien uttrycker en godtycklig slät funktion som ett oändligt polynom. Varje koefficient är en derivata: den n:te termen är f⁽ⁿ⁾(a)/n! gånger (x-a)ⁿ. För väluppförda funktioner som eˣ, sin(x) och cos(x) konvergerar serien till det exakta funktionsvärdet överallt.
Varje extra term utvidgar approximationen. Med fler termer: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
De tre viktigaste Maclaurinserierna: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (konvergerar överallt); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (konvergerar överallt); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (konvergerar överallt). Att substituera x = iπ i eˣ-serien ger Eulers identitet.
Table of Maclaurin series
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor formulerade den generella satsen 1715; specialfallet centrerat vid 0 populariserades av Colin Maclaurin 1742. Varje miniräknare och dator använder Taylorserier för att beräkna transcendenta funktioner. Felet efter n termer begränsas av Lagranges rest: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Varje par termer ger en ytterligare noggrannhetsordning.
En Taylorserie representerar en slät funktion som ett oändligt polynom: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... Koefficienterna är derivatorna vid mittpunkten a. Maclaurinserier är centrerade vid 0. De tre nyckelserierna konvergerar överallt: e^x = 1 + x + x²/2! + ..., sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ..., cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... Att substituera x = i·π i eˣ-serien bevisar Eulers identitet. Varje miniräknare använder Taylorserier internt för att beräkna transcendenta funktioner.