Stirlings approximation säger att för stora n gäller n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Att både π och e förekommer i en formel om att räkna permutationer är slående. För n = 10 är felet under 1 %. För n = 100 under 0,1 %. Formeln förbättras utan gräns när n växer.
Det relativa felet |n! - Stirling(n)| / n! faller under 1% vid n=8 och under 0,1% vid n=80.
Abraham de Moivre fann 1730 att n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ för någon konstant C. James Stirling identifierade C = √(2π) samma år. √(2π) härstammar från Gaussintegralen: vid härledningen av Stirling via gammafunktionen dyker integralen ∫e^(-t²)dt = √π upp, vilket för in π i formeln.
Den logaritmiska formen används genomgående inom fysiken: i statistisk mekanik kräver Boltzmanns entropiformel S = k·ln(W) beräkning av ln(N!) för enorma N (mol av partiklar). Stirling ger ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, vilket gör det hanterbart. Den fullständiga asymptotiska serien lägger till korrektioner: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
Pa logaritmisk skala ar n! och Stirlings approximation visuellt identiska. Relativt fel nar 0 nar n vaxter.