Riemanns zetafunktion är ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler studerade den reella versionen och fann ζ(2) = π²/6 (Baselproblemet) och produktformeln ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) över alla primtal. Riemann utvidgade funktionen till komplexa tal i sitt banbrytande papper 1859.
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
Riemanns viktigaste insikt: när ζ(s) utvidgas till komplexa s styr de icke-triviala nollorna (där ζ(s) = 0 med 0 < Re(s) < 1) fördelningen av primtal. Varje nolla bidrar med en oscillation till primtalsfunktionen. Riemann antog 1859 att alla icke-triviala nollor ligger på linjen Re(s) = 1/2. Det är Riemann-hypotesen.
Över 10 biljoner icke-triviala nollor har verifierats ligga på Re(s) = 1/2. Inget motexempel har någonsin hittats. Clay Mathematics Institute erbjuder 1 miljon dollar för ett bevis (eller motbevis). Ett bevis skulle ge den skarpaste möjliga gränsen för primtalsfördelningens fel. Riemann-hypotesen har stått oprovar i 165 år.
Riemanns zetafunktion uppfyller en symmetri: zeta(s) = 2^s · π^(s-1) · sin(πs/2) · Gamma(1-s) · zeta(1-s). Det utvidgar zeta till alla komplexa tal s (utom s = 1) och relaterar värdet vid s till värdet vid 1-s. Det visar att icke-triviala nollor förekommer parvis: om s är en nolla är även 1-s det. De triviala nollorna vid s = -2, -4, -6, ... härstammar från faktorn sin(πs/2).
Riemanns zetafunktion är zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler beräknade den vid jämna heltal: zeta(2) = π²/6, zeta(4) = π⁴/90. Riemann utvidgade den till komplexa s 1859 och antog att alla icke-triviala nollor ligger på Re(s) = 1/2. Denna Riemann-hypotes har stått oprovad i 165 år och är ett Clay Millennium Prize-problem värt 1 miljon dollar. Över 10 biljoner nollor har verifierats på den kritiska linjen. Nollorna styr primtalsfördelningen: varje nolla bidrar med en oscillation till primtalsfunktionen.