I varje rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan (sidan mitt emot den räta vinkeln) lika med summan av kvadraterna på de övriga två sidorna. Om kateterna är a och b och hypotenusan är c gäller a² + b² = c². En 3-4-5-triangel uppfyller 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². För 3-4-5-triangeln: 9 + 16 = 25. Den blå och röda kvadraten tillsammans är lika stora i area som den gröna kvadraten.
Babyloniska lertavlor från 1900 f.Kr. listar pythagoreiska tal (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), vilket visar att resultatet var empiriskt känt länge innan Pythagoras. Hans skola (runt 570 f.Kr.) gav det första beviset. Över 370 olika bevis är nu kända, bland annat algebraiska, geometriska, trigonometriska och ett som publicerades av den amerikanske presidenten James Garfield 1876.
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
I n dimensioner: avståndet från origo till (x₁, x₂, …, xₙ) är √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Fermats stora sats (bevisad av Andrew Wiles 1995 efter 358 år) visar att det inte finns några heltalslösningar till aⁿ + bⁿ = cⁿ för n större än 2. Pythagoras sats är fallet n=2 med oändligt många heltalslösningar.
Båda stora kvadraterna är (a+b)×(a+b). Båda innehåller fyra identiska rätvinkliga trianglar. Det som återstår i den vänstra kvadraten är c². Det som återstår i den högra kvadraten är a²+b². De måste vara lika.
I vilken rätvinklig triangel som helst: a² + b² = c². Känt empiriskt av babylonierna runt 1800 f.Kr.; första beviset av pythagoréerna runt 570 f.Kr. Över 370 distinkta bevis finns, bland annat ett av den amerikanske presidenten James Garfield 1876. Heltalslösningar är pythagoreiska tal: alla tripplar genereras av (m²-n², 2mn, m²+n²). Fermats stora sats (bevisad av Wiles, 1995) visar att inga liknande heltalslösningar finns för exponenter över 2. Satsen generaliseras till n dimensioner som den euklidiska avståndsformeln.