Pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Oavsett cirkelns storlek är detta förhållande alltid exakt detsamma: π = 3,14159265358979... Definitionen är geometrisk men pi förekommer i fysik, sannolikhetsteori, ingenjörsvetenskap och inom alla grenar av matematiken.
Pi kan inte skrivas som ett bråk av två heltal (bevisat av Johann Heinrich Lambert 1761). Det är också transcendent: inte lösningen till något polynom med heltalskoefficienter (bevisat av Ferdinand von Lindemann 1882). Det innebär att det är omöjligt att kvadrera en cirkel med enbart passare och linjal. Decimalutvecklingen tar aldrig slut och upprepar sig aldrig.
Arkimedes från Syrakusa (~250 f.Kr.) var den förste att rigoröst begränsa pi, och visade att det ligger mellan 3+10/71 och 3+1/7 med hjälp av inskrivna och omskrivna polygoner med 96 sidor. Babylonierna använde 3,125 och egyptierna 3,1605. Symbolen π introducerades av den walesiske matematikern William Jones år 1706 och populariserades av Euler. Per 2024 har pi beräknats till över 100 biljoner decimaler.
Pi förekommer långt bortom cirklar: i normalfördelningen (klockformskurvan innehåller √(2π)), i Eulers identitet e^(iπ) + 1 = 0, i sannolikheten att två slumpmässiga heltal saknar gemensam faktor (6/π²), i Stirlings fakultetsapproximation n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, i kvantmekanik och i formeln för en sfärs volym (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Irrationellt (Lambert, 1761). Transcendent (Lindemann, 1882). Pi-dagen firas den 14 mars (3/14 i det amerikanska datumformatet). Bråket 22/7 överskattar pi med 0,04 %. Den bättre approximationen 355/113 är korrekt till 6 decimaler. Om pi är ett normalt tal (varje siffersekvens förekommer med lika stor frekvens) är okänt men allmänt trott.
Arkimedes använde 96-sidiga polygoner för att bevisa 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, vilket ger 3,1408 < π < 3,1429. Han beräknade aldrig π – han inringade det. Metoden fungerar eftersom cirkelns omkrets ligger mellan de två polygonernas omkretsar.