φ (phi) är den positiva lösningen till x² = x + 1. Denna ekvation har en geometrisk innebörd: om du delar ett linjesegment så att förhållandet mellan helheten och den längre delen är lika med förhållandet mellan den längre delen och den kortare delen, är detta förhållande φ. Inget annat tal har denna självlikartade egenskap.
Table of Fibonacci ratios converging to phi
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Det gyllene snittet förekommer i den reguljära pentagonen och pentagrammet, där diagonalerna skär varandra i det gyllene snittet. Varje Fibonaccital dividerat med det föregående approximerar φ. Kedjebråket [1; 1, 1, 1, …] är det enklaste oändliga kedjebråket: enbart ettor. Det gör φ till det tal som är svårast att approximera med bråk, vilket ger det titeln "det mest irrationella talet".
Klipp ut en kvadrat från en gyllene rektangel. Den återstående delen är en ny gyllene rektangel, mindre med faktorn 1/φ. Upprepa i det oändliga. Bågarna bildar den gyllene spiral som ses i snäckskal och galaxer.
φ uppfyller φ² = φ + 1, alltså φ = 1 + 1/φ. Upprepad substitution ger: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Detta oändliga kedjebråk av enbart ettor är både definitionen och förklaringen till dess "mest irrationella" status. Beräknat med full precision: 1,61803398874989484820…
I en reguljär pentagon med sidelängd 1 har varje diagonal längden φ ≈ 1,618. Diagonalerna delar också varandra i det gyllene snittet. Rita alla fem diagonaler och du får ett pentagram: i sig fullt av gyllene proportioner.
Det gyllene snittet phi är ungefär 1,61803398874989484820. Det är den positiva lösningen till x² = x + 1. Phi är irrationellt, algebraiskt och är gränskvoten för på varandra följande Fibonaccital. Det förekommer i den reguljära pentagonen och ikosaedron, i solrosens fröspiraler och i proportioner studerade sedan antikens Grekland. Dess kedjebråk [1; 1, 1, 1, ...] gör det till det reella tal som är svårast att approximera med bråk, vilket är varför fytoaxin använder den gyllene vinkeln som härleds från phi.