Matematiken har byggt upp fem huvudsakliga talsystem, vart och ett en utvidgning av det föregående. Varje utvidgning motiverades av en ekvation som saknade lösning: "vad är 3-5?" krävde heltalen; "vad är 1/3?" krävde de rationella talen; "vad är sqrt(2)?" krävde de reella talen; "vad är sqrt(-1)?" krävde de komplexa talen.
Table showing properties gained and lost when extending number systems
| SYSTEM | GAINED | LOST/CHANGED |
|---|---|---|
| N (naturals) | counting, +, x | no subtraction |
| Z (integers) | subtraction, negatives | no division |
| Q (rationals) | division, fractions | no sqrt(2) |
| R (reals) | all limits, sqrt(2), pi | no sqrt(-1) |
| C (complex) | all polynomial roots | algebraically closed |
| H (quaternions) | 3D rotations | ab not = ba |
| Each extension is a genuine enlargement, not just renaming |
Bla: naturliga tal ℕ. Gront tillagger 0. Lila utvidgar till negativa heltal ℤ. Orange tillagger braker ℚ. Rott: irrationella tal fyller resten av ℝ.
Matematiken har fem huvudsakliga talsystem: naturliga tal N (räkning, ingen subtraktion), heltal Z (tillägger subtraktion och negativa tal), rationella tal Q (tillägger division), reella tal R (tillägger gränsvärden och irrationella), komplexa tal C (tillägger sqrt(-1)). Varje utvidgning löste en ekvation som var olösbar i det föregående systemet. Komplexa tal är algebraiskt slutna: varje polynomekvation har en lösning inom C. Inklusionen är strikt: N inuti Z inuti Q inuti R inuti C, med transcendenta tal som fyller den yttre ringen av R.