Summera reciprokerna av alla primtal upp till n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Det växer, men enastående långsamt: som ln(ln(n)). Meissel–Mertens konstant M är det precisa gapet mellan denna summa och dess dominerande term, precis som Euler–Mascheroni-konstanten γ är gapet mellan den harmoniska serien och ln(n).
Euler bevisade 1737 att summan av alla primtals reciproker divergerar. Det är mycket svårare än att bevisa att det finns oändligt många primtal och ger en kvantitativ känsla av hur tätt primtalen sitter. Mertens sats säger sedan Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), vilket ger M som den precisa konstanttermen.
Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M och γ är relaterade via M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Om någon av konstanterna är irrationell är okänt. Båda är beräknade till miljarder decimaler och antas vara transcendenta, men inget bevis finns för någondera. M: 0,261497212847642783755426838608669…
Harmonisk summa: 2,93, 5,19, 7,49, 9,79. Primtals-reciproksumma vaxer som ln(ln(n))+M: bara 0,84, 1,18, 1,52, 1,85.
Euler–Mascheroni-konstanten gamma mäter gapet mellan den harmoniska serien (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) och ln(n). Meissel–Mertens konstant M spelar samma roll för summan av primtalsreciproker (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) kontra ln(ln(n)). Båda är "felkorrigerings"-konstanterna för divergenta serier som växer logaritmiskt.
Meissel–Mertens konstant M ≈ 0,26149 spelar samma roll för primtalsreciproker som Euler–Mascheroni-konstanten spelar för den harmoniska serien. Mertens bevisade 1874 att 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + litet fel. Om M är irrationell är okänt. Den förekommer i Mertens sats om primtalsprodukter och i tätheten av jämna tal. M och gamma är relaterade via en specifik summa över alla primtal.