Varje reellt tal har bästa rationella approximationer: bråk p/q som är närmre x än något bråk med mindre nämnare. Nämnarena q₁, q₂, q₃, … växer, men i vilken takt? Paul Lévy bevisade 1935 att för nästan varje reellt tal konvergerar qₙ^(1/n) mot e^β ≈ 3,27582, där β = π²/(12 ln 2).
For nastan alla reella tal vaxer ln(qₙ) lineart med lutning β ≈ 1,1865. π:s konvergensnamnarare vaxer snabbare pa grund av den anormala partialkontinuenten 292.
Det gyllene snittet φ = [1;1,1,1,…] har Fibonacci-nämnare 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … som växer med takten φ ≈ 1,618 per steg. Det är långt långsammare än e^β ≈ 3,276, vilket är varför φ är det "mest irrationella" talet: dess approximationer förbättras långsammast. De flesta tal har nämnare som växer mycket snabbare, med takten e^β.
Comparison of denominator growth rates for golden ratio versus typical number
| φ = [1;1,1,1,…] | Typical number |
|---|---|
| qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Slowest possible growth | Lévy's theorem |
Värdet β = π²/(12 ln 2) framkommer genom integration av Gauss–Kuzmin-fördelningen. ln 2 kommer från att arbeta i bas 2 (binärt), och π² uppstår från samma källor som ζ(2) = π²/6. Lévys konstant: 1,1865691104156254… e^β = 3,275822918721811159787681882…
Partialkontinuenten 292 vid steg 5 gor att π:s namnarare vaxer mycket snabbare an genomsnittet.
| n | Partial quotient aₙ | Convergent pₙ/qₙ | Denominator qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Lévys konstant beta = π²/(12 ln 2) ≈ 1,18657. För nästan varje reellt tal uppfyller det n:te konvergentens nämnare qₙ att qₙ^(1/n) → e^beta ≈ 3,27582. Bevisat av Paul Lévy 1935. Det gyllene snittet, med Fibonacci-nämnare som växer med takten phi ≈ 1,618, ligger långt under genomsnittet, vilket bekräftar det som det svåraste talet att approximera. Formeln kombinerar π och ln 2 och kopplar samman cirkelgeometri med logaritmer via Gauss–Kuzmin-fördelningen.