Varje reellt tal har ett kedjebråk: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Heltalen a₁, a₂, a₃, … är de partiella kvotienter. För π är de 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… För √2 är de 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periodiska, alla 2:or). Khintjin bevisade 1934 att för nästan varje reellt tal konvergerar det geometriska medelvärdet av de partiella kvotenterna mot samma konstant K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). Partialkontinuenten 1 forekommer i ~41% av alla kedjebrak.
Formeln för K₀ är K₀ = ∏(k=1 till ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), som konvergerar extremt långsamt. Khintjins sats är ett exempel på ett resultat som gäller för nästan varje tal men inte kan verifieras för en enda specifik konstant. Vi kan inte uppvisa ett enda bekräftat fall av ett tal som lyder den.
Vid k=3 är över två tredjedelar av alla partialkontinuenter täckta. Sekvensen konvergerar långsamt mot 1.
Det faktum att 1 dominerar (41,5%) förklarar varför K₀ ≈ 2,685 är mindre än 3: de små värdena drar ned det geometriska medelvärdet. Om alla siffror från 1 till 9 vore lika sannolika skulle det geometriska medelvärdet vara (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. Den starka viktningen mot 1 gör K₀ avsevärt mindre.
Khintjins konstant K₀ ≈ 2,68545 är en universell gräns: för nästan varje reellt tal x = [a₀; a₁, a₂, ...] konvergerar det geometriska medelvärdet av de partiella kvotenterna (a₁·a₂·...·aₙ)^(1/n) mot K₀. Bevisat av Khintjin 1934. Det slående är universaliteten: nästan varje tal delar detta geometriska medelvärde, men resultatet kan inte verifieras för en enda känd konstant som π eller e. Om K₀ är algebraiskt eller transcendent är okänt.