Ett tal är irrationellt om det inte kan uttryckas som ett bråk p/q där p och q är heltal. Dess decimalutveckling slutar aldrig och upprepar sig aldrig. sqrt(2), pi, e och phi är alla irrationella. De är inga undantag eller kuriositeter: den överväldigande majoriteten av reella tal är irrationella.
Bla: rationella tal (exakta braker). Rod: irrationella tal (icke-upprepande decimaler). Mellan tva rationella tal finns alltid ett irrationellt.
Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
| RATIONAL: terminates or repeats | IRRATIONAL: never repeats |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| terminates | no pattern, ever |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| repeating block: {3} | no pattern, ever |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| repeating block: {142857} | no pattern, ever |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| repeating block: {45} | no pattern, ever |
De rationella talen, trots att de är oändligt många, kan listas (de är räknebara). De irrationella talen kan inte listas. Om du valde ett reellt tal slumpmässigt är sannolikheten att det är rationellt exakt noll.
Ett tal är irrationellt om det inte kan skrivas som ett bråk p/q med heltal p och q. Dess decimalutveckling slutar aldrig och upprepar sig aldrig. Pythagoréerna bevisade att sqrt(2) är irrationellt runt 500 f.Kr., en chockerande upptäckt på sin tid. Pi bevisades irrationellt av Lambert 1761, och e av Euler 1737. De flesta reella tal är irrationella: rationella tal är räknebara oändliga men irrationella tal är övertäckbara, så sannolikheten att välja ett rationellt tal slumpmässigt är exakt 0. Algebraiska irrationella tal uppfyller polynomekvationer; transcendenta tal gör det inte.