räknebar oändlighet är strikt mindre än övertäckbar oändlighet
Oändlighet är inte en enda sak. Georg Cantor visade 1874 att vissa oändligheter verkligen är större än andra. Heltalen, bråktalen och de jämna talen är alla lika oändliga. Men de reella talen bildar en strikt större oändlighet, och ingen lista kan någonsin innehålla dem alla.
Cantors diagonalargument: varför de reella talen inte kan listas
Oändligheternas storlekar: en strikt hierarki
De naturliga talen, heltalen och de rationella talen är alla räknebara oändliga: de kan alla sättas i en-till-en-korrespondens med varandra. De reella talen är övertäckbart oändliga: en strikt större oändlighet. Kontinuumhypotesen frågar om det finns något däremellan.
Hilberts hotell: ett hotell med oändligt många rum, alla fulla, har alltid plats
Cantor bevisade 1874 att inte alla oändligheter är lika. Naturliga tal, heltal och rationella tal är räknebara oändliga: de kan listas. Reella tal är övertäckbart oändliga: ingen fullständig lista finns, bevisat med diagonalargumentet. Cantors sats visar att potensuppsättningen av en mängd har strikt större kardinalitet, vilket genererar en oändlig hierarki av oändligheter. Kontinuumhypotesen, att ingen oändlighet ligger mellan heltalen och de reella talen, bevisades vara oberoende av standardmängdteorin.