Den harmoniska serien är summan av alla stambråk. Varje term 1/n tenderar mot noll, vilket kanske antyder att summan konvergerar, men det gör den inte. Beviset använder gruppering: 1/3+1/4 > 1/2, sedan 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, och varje sådan grupp adderar minst 1/2, så totalen överskrider varje gräns. Ändå divergerar den med enastående långsamhet: för att nå en partialsumma på 100 krävs fler termer än atomer i det observerbara universum.
H(n) och ln(n) vaxer tillsammans, skiljer sig alltid med ungefar γ ≈ 0,5772. Bada divergerar.
~10^43 termer kravs for att na H(n)=100. Fler an atomer i universum.
Den harmoniska serien 1 + 1/2 + 1/3 + ... divergerar, bevisat av Nicole Oresme omkring 1350. Trots att varje term tenderar mot noll överstiger summan varje gräns. Partialsummorna växer som ln(n) + gamma där gamma ≈ 0,5772 är Euler–Mascheroni-konstanten. Efter en miljon termer är summan bara ungefär 14. För att nå 100 krävs mer än 10⁴³ termer. Den alternerande serien 1 - 1/2 + 1/3 - ... konvergerar mot ln 2.