Funktionen e^(−x²) är klockformskurvan: den toppar vid 1 när x = 0 och faller symmetriskt mot 0 i båda riktningarna. Arean under den längs hela tallinjen är exakt √π ≈ 1,7724. Det är anmärkningsvärt: e och π, som vanligtvis förekommer i separata sammanhang, förenas i sannolikhetsteorins enklaste integral.
Integralen av e^(−x²) over alla x ar lika med √π ≈ 1,7725. Kvadratroten dividerad med √(2π) ger standardnormalfordelningskurvan.
Beviset är ett av matematikens mest eleganta knep. Låt I = ∫e^(−x²)dx. Beräkna I² genom att skriva det som en dubbelintegral över x och y, byt sedan till polärkoordinater r, θ. Integranden blir e^(−r²) och ytaelementet blir r·dr·dθ. r gör integralen elementär: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Multiplicerat med ∫₀^(2π) dθ = 2π ger I² = π, alltså I = √π.
Normalfördelningen, centrala gränsvärdessatsen, kvantmekaniska vågfunktioner (som använder gaussiska vågpaket) och Stirlings approximation för fakulteter vilar alla på denna enda integral. Värdet √π förekommer överallt där e^(−x²) integreras, vilket visar sig vara nästan överallt inom kontinuerlig sannolikhetsteori.
Gaussintegralen: integralen från -oändligheten till +oändligheten av e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Det eleganta beviset kvadrerar integralen, konverterar till polärkoordinater och utvärderar den exakt. Det är nyckelberäkningen bakom normalfördelningen: sannolikhetstätheten (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) integrerar till 1. Gaussfunktionen förekommer i kvantmekanik, värmespridning, Stirlings approximation och centrala gränsvärdessatsen.