Analysens fundamentalsats kopplar samman två till synes separata idéer. Del 1: om du integrerar en funktion från en fast punkt till x är derivatan av den integralen den ursprungliga funktionen. Del 2: den bestämda integralen av f från a till b är lika med en godtycklig primitiv funktion F utvärderad i b minus F i a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667. Antiderivatan F(x) = x³/3 ger den exakta arean.
Innan denna sats krävde beräkning av areor Riemannsummor: att dela upp regionen i tunna rektanglar, summera dem alla och ta gränsvärdet. Fundamentalsatsen ersätter allt detta med en enda subtraktion. Newton förstod detta runt 1666 och Leibniz självständigt runt 1675. Deras tvist om prioritet splittrade europeisk och brittisk matematik i en generation.
Varje integral som lärs ut i analysekurser använder Del 2: hitta en primitiv funktion, utvärdera i ändpunkterna, subtrahera. Det fungerar eftersom derivering och integration är exakta inverser av varandra. Det är ett av de djupaste och mest användbara resultaten i hela matematiken.
En Riemannsumma med 8 rektanglar ger ≈ 0.273. Exakt svar ar 8/3 ≈ 2,667.
Arbete utfört av en variabel kraft F(x) över en förflyttning från a till b är W = integralen från a till b av F(x) dx = P(b) - P(a), där P är potentialenergifunktionen som uppfyller P' = -F. Hastighet integreras till förflyttning; kraft integreras till impuls. Fundamentalsatsen är det som gör dessa beräkningar hanterbara istället för att kräva oändliga Riemannsummor.