Erdős–Borwein-konstanten E är summan 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Nämnarena är Mersenne-talen 2ⁿ − 1. Paul Erdős bevisade 1948 att E är irrationellt med hjälp av enbart elementära egenskaper hos binära representationer.
Partialsummorna konvergerar snabbt mot E ≈ 1,6066951524. Namnarna 2^n-1 vaxer geometriskt.
Serien konvergerar geometriskt snabbt: varje term är ungefär hälften av den föregående (eftersom 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ för stora n). Efter bara 20 termer är summan korrekt till 6 decimaler. Ekvivalensen E = Σ d(n)/2ⁿ (där d(n) räknar udda delare till n) knyter den till delbarhetssteori.
Om E är transcendent är ett öppet problem. Det som gör Erdős irrationellitetsbevis minnevärt är dess sparsmakade elegans: han använde det faktum att de binära representationerna av nämnarena 1, 3, 7, 15, 31… (vilka är 1, 11, 111, 1111, 11111 i binär form) har en speciell struktur som förhindrar att summan är rationell. Värdet: 1,60669515245214159769492939967985…
Varje namnare 2^n - 1 ar ungefar det dubbla av foregaende. Summan konvergerar mot E ~1,6066951524.
Erdős–Borwein-konstanten E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdős bevisade irrationaliteten 1948 med hjälp av binära egenskaper hos nämnarena 2^n - 1. Den är lika med summan av d(n)/2^n där d(n) räknar udda delare till n. Serien konvergerar snabbt: varje term är ungefär hälften av den föregående. Om den är transcendent är okänt. Värde: 1,60669515245214159769492939967985...