e är det unika tal där funktionen eˣ är sin egen derivata. Börja med ett godtyckligt belopp och låt det växa kontinuerligt med 100 % per år. Efter exakt ett år har du e gånger det du började med. Inget annat bastal delar denna självrefererande egenskap.
När n växer konvergerar sekvensen mot e underifrån och närmar sig 2,71828182845904…
Table showing (1+1/n)^n converging to e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
Ränta-på-ränta-tolkningen: om en bank betalar 100 % årsränta men sammansätter den n gånger per år ökar ditt saldo med (1 + 1/n)ⁿ. Månadssammansättning ger 2,613. Sammansättning varje sekund ger 2,718. Kontinuerlig sammansättning ger exakt e.
Vid x=1 ar bade kurvans hojd och tangentens lutning e ≈ 2,718. Ingen annan bas b^x har denna egenskap.
Jacob Bernoulli upptäckte e 1683 under studier av sammansatt ränta. Euler namngav det e 1731. Det är irrationellt (Euler, 1737) och transcendent (Hermite, 1873). Decimalutvecklingen 2,71828182845904523536… upprepar sig aldrig.
Med 1 kr vid 100% arlig ranta: manadsupprantning ger 2,613, daglig 2,714, varje sekund 2,718. Gransen nar n→∞ ar exakt e.
e (Eulers tal) är ungefär 2,71828182845904523536. Det är det unika tal där funktionen e^x är lika med sin egen derivata i varje punkt. Jacob Bernoulli upptäckte det 1683 under studier av sammansatt ränta. Leonhard Euler namngav det e omkring 1731. e är irrationellt (Euler, 1737) och transcendent (Hermite, 1873). Det förekommer i kontinuerlig tillväxt och avklingning, naturliga logaritmer, normalfördelningen, sammansatt ränta, radioaktivt sönderfall och i Eulers identitet e^(i*pi) + 1 = 0.