De Moivres sats säger att upphöjning av en punkt på enhetscirkeln till n-te potensen helt enkelt multiplicerar dess vinkel med n. Om du börjar vid vinkeln θ och tillämpar operationen n gånger hamnar du vid vinkeln nθ. Det är det geometriska hjärtat i komplexa tals aritmetik.
Startar vid vinkeln θ=40° på enhetscirkeln. Kvadrering fördubblar vinkeln till 80° (grön). Kubering tredubblar den till 120° (röd). Punkten roterar bara: dess avstånd från origo förblir 1.
Satsen följer omedelbart från Eulers formel e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Upphöjning av båda sidor till potensen n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre formulerade sitt resultat 1707, 41 år innan Euler publicerade formeln, vilket gör beviset att kännas som magi snarare än mekanik.
De 6 enhetens rötter bildar ett reguljärt hexagon på enhetscirkeln. De n enhetens rötter till z^n = 1 bildar alltid en reguljär n-hörning, jämnt fördelade vid vinklarna 2πk/n = τk/n.
De Moivres sats är det viktigaste verktyget för att beräkna potenser och rötter av komplexa tal, härleda flervinkelformler (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), och hitta de n jämnt fördelade n-te rötterna av ett godtyckligt komplext tal. Det kopplar samman algebran hos komplexa tal med rotationens geometri.
När du multiplicerar två komplexa tal adderas deras vinklar (argument) och deras belopp multipliceras. Om båda talen befinner sig på enhetscirkeln (belopp 1) förändras bara vinklarna. Multiplikation n gånger adderar vinkeln n gånger: det är de Moivres sats.
De Moivres sats visar att cos(n*theta) alltid kan skrivas som ett polynom i cos(theta). Det är Chebyshevs polynom T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Till exempel är cos(2*theta) = 2*cos²(theta) - 1, så T_2(x) = 2x² - 1. De förekommer i numerisk analys, filterdesign och approximationsteori.