Ett kedjebråk uttrycker ett tal som ett heltal plus reciproken av ett annat kedjebråk. Varje reellt tal har en unik kedjebråksutveckling. Rationella tal terminerar; kvadratiska irrationaliteter upprepar sig periodiskt; transcendenta tal som pi saknar mönster. Konvergenterna (rationella approximationer bildade genom trunkering) är bevisligen de bästa approximationerna av alla rationella med den storlekens nämnare.
Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Konvergenter 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternerar ovan och under π. Varje ar den basta rationella approximationen med den namnaren eller mindre.
Varje reellt tal har en unik kedjebråksutveckling. Rationella tal har ändliga utvecklingar. Kvadratiska irrationaliteter (som sqrt(2) och phi) har till slut periodiska utvecklingar. Transcendenta tal som pi saknar mönster. Konvergenterna i ett kedjebråk är de bästa rationella approximationerna: 22/7 och 355/113 är konvergenter för pi, som matchar det till 2 respektive 6 decimaler. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] är det svåraste talet att approximera, vilket gör det till det mest irrationella i en precis mening.