Ett komplext tal har två delar: en realdel och en imaginärdel. Den imaginära enheten i uppfyller i² = -1. Varje reellt tal är ett komplext tal med b = 0. Komplexa tal fyller ett 2D-plan snarare än en 1D-linje, vilket ger varje polynomekvation exakt lika många rötter som sin grad.
Multiplikation med i är en rotation 90 grader moturs. Multiplikation med i två gånger (dvs. med i²) är en rotation 180 grader, vilket vänder 1 till -1. Alltså är i² = -1 inget algebraiskt knep; det är en rotation.
Över de reella talen saknar x²+1=0 lösning. Över de komplexa talen har den två: i och -i. Algebrans fundamentalsats säger: utvidga till komplexa tal och varje polynom av grad n har exakt n rötter.
Table showing polynomials over reals versus complex numbers, demonstrating every degree-n polynomial has exactly n complex roots
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
Komplexa tal utvidgar tallinjen till ett 2D-plan genom att introducera i, där i kvadrat är -1. Varje komplext tal z = a + bi har realdelen a, imaginärdelen b, beloppet |z| = sqrt(a² + b²) och argumentet arg(z) = atan(b/a). Multiplikation med e^(i*theta) roterar med theta radianer. Algebrans fundamentalsats säger att varje polynom av grad n har exakt n komplexa rötter med multiplicitet. Komplexa tal är grunden för kvantmekanik, signalbehandling och Eulers identitet.