Baselproblemet frågar: vilket är det exakta värdet av 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Serien konvergerar, men till vad? Pietro Mengoli ställde frågan 1650. Den förbryllade varje matematiker i 84 år tills Euler löste den 1734 vid 28 års ålder.
Partialsummorna narmar sig π²/6 ≈ 1,6449 langsamt. Euler bevisade gransen 1734.
Eulers bevis faktoriserade Taylorserien för sin(x)/x som ett oändligt produkt över dess rötter ±π, ±2π, ±3π… Jämförelse av x²-koefficienten i produktformen med Taylorkoefficienterna ger direkt Σ 1/n² = π²/6. Det är en av matematikens mest berömda beräkningar, och att π dyker upp här är inte en slump: cirklar och sfärer har naturliga kopplingar till heltalssummor via Riemanns zetafunktion.
Varje term 1/n^2 minskar snabbt. Deras summa konvergerar mot exakt pi^2/6 ~1,6449.
Resultatet generaliseras: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, och alla jämna zetavärden är rationella multipler av potenser av π. De udda värdena ζ(3), ζ(5), ζ(7)… är långt mer mystiska. Apéry bevisade att ζ(3) är irrationellt 1978, men ingen sluten form i termer av π är känd.
Sannolikheten att två slumpmässigt valda heltal saknar gemensam faktor (är relativt prima) är exakt 6/π², reciproken av π²/6. Det är ungefär 60,8 %. Detta kopplar Baselproblemet direkt till talteori och sannolikhetslära.