ζ(3) är värdet av Riemanns zetafunktion vid 3: summan av 1/n³ för alla positiva heltal. För jämna argument fann Euler vackra slutna former: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. För udda argument finns ingen sådan formel. Om ζ(3) ens involverar π är okänt.
z(3) ligger mellan tva varden med kanda slutna former med pi. Om z(3) involverar pi ar fortfarande okant.
År 1978 meddelade Roger Apéry ett bevis för att ζ(3) är irrationellt. Publiken var skeptisk. Henri Cohen och andra matematiker skyndade hem för att kontrollera det på datorer över natten. Nästa morgon bekräftade de att det stämde. "Det var som en åskknall ur klar himmel", sade en åhörare. Apéry var 64 år gammal.
Partialsummorna 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... narmar sig ζ(3) ≈ 1,20206 underfran. Konvergensen ar langsam.
Om ζ(3) kan uttryckas med hjälp av π är den utestående öppna frågan. Alla jämna zetavärden är rationella multipler av motsvarande potens av π. Udda zetavärden verkar leva i en annan värld. Oändligt många udda värden ζ(2n+1) är kända att vara irrationella (Rivoal, 2000), men det exakta mönstret förblir mystiskt. Fullt värde: 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = rationellt tal × π^(2k) för alla jämna k. Euler bevisade detta för alla jämna värden. Men ζ(3), ζ(5), ζ(7)... är helt annorlunda. ζ(3) är irrationellt (Apéry), men ingen relation till π är känd. Det kan vara genuint oberoende av π.
Table showing zeta at even integers known as pi fractions but odd integers unknown
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Okänt. Roger Apéry bevisade 1978 att zeta(3) är irrationellt, men om det är transcendent är fortfarande ett öppet problem. Det anses allmänt vara transcendent, men inget bevis finns.
Inom kvantelektrodynamiken (korrektioner till elektronens magnetiska moment), i slumpmatriteori och i entropin hos en tvådimensionell Ising-modell. Det förekommer i Fermi–Dirac- och Bose–Einstein-fördelningarna inom statistisk mekanik.
Ramanujan fann snabbt konvergerande serier för zeta(3), bland annat en formel med 7π³/180 och summor över exponentialfunktioner. Hans anteckningsböcker innehöll dussintals identiteter kopplade till zeta(3), varav de flesta bevisades först decennier efter hans död.
Heltal A(n) = summan av C(n,k)² C(n+k,k)² över k, som förekommer i Apérys irationalitetsbevis. De första är 1, 5, 73, 1445, 33001. De uppfyller en rekursionsrelation och växer på ett sätt som tvingar nämnarna i partialsummorna av 1/n³ att ta bort specifika faktorer, vilket gör gränsvärdet irrationellt.
Apérys konstant zeta(3) är summan 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959. För jämna värden av s fann Euler slutna former med pi: zeta(2) = pi²/6, zeta(4) = pi⁴/90. För udda värden är ingen sådan formel känd. Roger Apéry bevisade att zeta(3) är irrationellt 1978 vid 64 års ålder. Om det är transcendent, eller går att uttrycka med pi, är fortfarande okänt.